广州小雨seo有多少个实数？一个答案是“无限多”。因为康托证明了实数轴——即连续统——不能与自然数一一对应，他可以得到一个更好的答案，“不可数的倍数”。但是我们能更精确些吗？康托介绍了一种测量无限集合数的方法：使用Alev数。Alef是一个希伯来字母，康托用它来表示无限集合的数量这个号码不能经常在网页上打出来。他将无限集合的所有数字与这样的无限数(基数)分层。0(第一个无限基数，自然数集的个数)，1(第一个不可数的基数)，第二，等等。
像有限自然数一样，无限基数可以相加和相乘，但是比自然数容易得多。两个无限基数的乘法或加法等于两者中最大的一个。
我们也可以计算任何有限或无限基数的幂。这样，问题在瞬间变得不那么容易了。让我们看一个相对简单的例子。如果kappa是一个无限基数，那么2 kappa的值是多少(kappa的2次方，即Kappa基数集的幂集的基数)？康托证明了这种力量一定大于本身，但这是他得到的最深刻的结果。特别是，他不能显示2？0等于吗？1 .
多达数学网强烈纠正了互联网上的一个常见错误：许多人，甚至一些数学系学生、数学教师和科普作家，自然会这样想？1代表实数的基数。但是从集合论的观点来看，这是错误的。1代表最小的不可数基数，而不是真正的基数。通常用于实数基数的符号是c或者没有任何下标的符号？可以证明c=2？0？0 .同时，集合论已经证明基数有好的顺序，这意味着大于？在所有的基数0中，必须有一个最小基数，用？1表示。所以呢。0和？1之间没有其他基数，这从定义上是显而易见的。连续统假设是c和？在0和1之间还有其他基数吗？如果不是，这意味着C恰好是最小的不可数基数，也就是c=？这是连续统假说。也就是说，当你说真正的基础是？1、连续性的假设被承认，而这种理解至少是不完整的。当然，以上的话都是在ZFC体系下说的。关于这个常见的错误，我甚至不能再看维基了。把这句话留在阿列弗数字条目下：在流行书籍中？1有时被错误地定义为2^？0，但如果连续体是失败，这是错误的。1有时被错误地定义为2？0，但如果我们不承认连续统假说，那就错了。)]
这个问题的意义是什么？在数学的其他地方，已经证明了2？0正好是连续体的数目，也就是实数的数目。因为康托可以证明有理数的大小？0，然后下一个自然的问题，有多少个实数？令人沮丧的是，这样的问题无法回答。希尔伯特在1900年的《数学问题》中也将其列为23个问题之一。
提议2？0=？1是著名的连续统假说。它与构造无限集合的公理系统密切相关。这一公理系统被称为ZF公理系统，是由Zemello和frankl在20世纪初建立的，并被数学界普遍接受。1936年，哥德尔用他的证明震惊了数学。他证明了ZF公理系统不能证明连续统假设是一个假命题。
事实上，一些逻辑学家、一些真正的分析师和大多数数学家并不关心连续统假设是否正确。因此，结果本身并不令人震惊。出乎所有人的意料，哥德尔发现了一种证明某些数学命题不能被证明的方法。(注意，哥德尔证明了在ZF公理系统下连续统假设不能被证明为假，但这并不意味着在这个系统下连续统假设可以被证明为真。他没有逻辑推理来证明这是一个真实的命题。因此，我们都知道连续统假设不能被证明是一个虚假的命题，而研究转向证明它是一个真实的命题。但是这种研究是徒劳的。1963年，科恩的证明告诉了每个人为什么以前的研究是徒劳的。科恩用他发明的强迫方法证明了连续统假设(在ZF公理体系的框架下)不能被证明是一个真实的命题。所以这个假设是不可判定的。由于这一发现，科恩获得了1966年的菲尔兹奖。
当然，这是一个自然的想法。我们想给ZF公理系统增加一些公理，这样就可以判断连续统假设是否成立。的确，许多数学家都做过这样的工作，但没有一个成功。问题是，我们试图为所有数学分支提供一个统一的集合论基本框架(这个框架包含算术系统)，并且框架中的公理必须被每个人接受，而且必须看起来“显而易见”。没有人能找到这样的公理。有一种公理我个人觉得很有吸引力，叫做构造性公理(我在攻读博士期间学习了集合论和无穷基数算术，在我研究生涯的前15年里我一直在研究它)。
这个公理是由哥德尔发现的。哥德尔用它来证明在ZF公理体系下连续统假设不是一个错误的命题。虽然哥德尔并没有建议把它变成集合论的一个公理，但我认为它很“自然”，可以成为一个公理。不是因为我相信这是“真的”。当我们讨论无限集合上的数学时，我认为我们不应该认真对待公理的对错。甚至，我认为科恩的结果(以及许多后续结果)向我们展示的原始信息应该是：我们在选择集合论公理时应该务实。由于集合论的最终目标是为数学提供一个普遍的基础，我可以提出(事实上，我已经在1977年提出)一个非常好的论据来支持把构造公理引入公理系统。(我把这个想法写进了我的专著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》，该书于1977年在斯普林格-弗拉格出版。如果假设构造公理成立(作为一个新的公理，它被添加到ZF公理系统)，就可以证明连续统假设是一个真实的命题。出于各种原因，许多数学家不支持我和其他支持公理系统构造的人。但是没有人提出令人信服的反对意见。至少，那时没有。
1986年，情况发生了变化。弗莱林在《符号逻辑杂志》(符号逻辑杂志)上发表了一篇有趣的文章，题目是《公理的对称性：往实直线上投飞标》。在这篇文章中，弗莱林提出了以下假设性实验。你和我把飞标扔向飞标的目标。我们之间有一个屏障，所以我们对彼此没有影响。当我们收到第三方的信号时，我们一起向目标投掷飞镖。我们投掷的结果完全是随机的。(形式上，因为目标上的点可以与实数一一对应，所以我们两个可以简单地看作是两个独立的随机数生成器。)谁是赢家？嗯，实验的组织者把所有的实数排列得很好(也就是说，把目标上的点排列得很好)，并把它们记录为“”。我们的目标是以这种良好的顺序达到比对手更大的目标。如果你打的是y，我打的是m，如果是y